Question

【题目】如图

（1）问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：ADBC=APBP．
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图③，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t秒，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠DPA+∠CPB=90°，∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠PDA=∠CPB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC，

∴ =，

∴AD·BC=AP·BP.

（2）解：结论：ADBC=APBP仍然成立，
理由：∵∠ADP+∠APD=180°﹣θ，∠DPA+∠CPB=180°﹣θ，
∴∠ADP=∠CPB，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，

∴ = ，

∴AD·BC=AP·BP.

（3）解：作DE⊥AB，当⊙D与AB相切时，半径r=DE=DC，

∴DE==4，

∴DC=4，
∴BC=1，
依据（1）（2）的结论AD·BC=AP·BP，
∴5×1=t（6﹣t），
∴t2﹣6t+5=0，
解得：t1=1，t2=5，
∴点P运动时间为1s或5s．

【解析】（1）由同角的余角相等得∠PDA=∠CPB，根据相似三角形的判定得△ADP∽△BPC，再由相似三角形的性质得出= ，即AD·BC=AP·BP.
（2）结论：AD·BC=AP·BP仍然成立；理由：由等量代换得∠ADP=∠CPB，根据相似三角形的判定得△ADP∽△BPC，再由相似三角形的性质得出= ，即AD·BC=AP·BP.
（3）作DE⊥AB，当⊙D与AB相切时，半径r=DE=DC，由勾股定理得DE=DC=4，依据（1）（2）的结论AD·BC=AP·BP，即t2﹣6t+5=0，解之即可得出答案.