Question

【题目】如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，连接CD．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=4 ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．又∵∠A=∠B=30°，

∴∠A=∠ODB，

∴DO∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE 为⊙O 的切线

（2）解：∵BC 为直径，

∴∠BDC=90°．

根据等腰三角形的三线合一性质得到CD是AB的中线，

∴BD= AB=2 ，

在直角三角形BDC中，cosB═ ，即 = ，

解得BC=4，

S阴影=S扇形OCD﹣S△OCD= ﹣ × = ﹣

【解析】（1）首先连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得∠A=∠ODB，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；（2）由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD= AB=2 ，通过解余弦函数求得BC，从而得出圆的半径，进而根据S阴影=S扇形OCD﹣S△OCD即可求得．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，还要掌握扇形面积计算公式(在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）)的相关知识才是答题的关键．