Question

【题目】综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+．（2）点B′在该抛物线上．（3）当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；

（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面积法可求得BF=2．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（﹣3，﹣4），然后可判断出点B′在抛物线上；

（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标

解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，

∴．

解得：．

∴抛物线的解析式为y=﹣+x+．

（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．

∵BC⊥x轴，

∴点C的横坐标为5．

∵点C在直线y=﹣2x上，

∴C（5，﹣10）．

∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，

∴B′F=BF．

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．

∵S△OBC=OCBF=OBBC，

∴5×BF=5×10．

∴BF=2．

∴BB′=4．

∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，

∴∠B′BE=∠BCF．

又∵∠B′EB=∠OBC=90°，

∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．

∴，即．

∴B′E=4，BE=8．

∴OE=BE﹣OB=3．

∴点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．

当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．

所以，点B′在该抛物线上．

（3）存在．

理由：如图所示：

设直线B′C的解析式为y=kx+b，则，解得：

∴直线B′C的解析式为y=．

设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣）．

∵PD∥BC，

∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，

∴﹣（﹣）=10．．

解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）．

当x=2时，=．

∴当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．