Question

【题目】如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．

（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；

（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=， 求tanA的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）tan∠A=．

【解析】

（1）连结OD，如图1，先根据切线的性质得到∠ODE=90°，然后通过HL证明Rt△OBE≌Rt△ODE，得到∠1=∠2，利用三角形的外角性质得到∠2=∠C，再根据平行线的判定定理即可得证；

（2）连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，易证∠A=∠COD，根据切线的性质与两角互余可得∠ADE=∠DOF，则在Rt△DOF中，sin∠DOF==，设DF=x，则OD=3x，然后用含x的式子表示相关线段的长，然后求得tanA的值即可.

解:（1）证明：连结OD，如图1，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

在Rt△OBE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OBE≌Rt△ODE，

∴∠1=∠2，

∵OC=OD，

∴∠3=∠C，

而∠1+∠2=∠C+∠3，

∴∠2=∠C，

∴OE∥AC；

（2）解：连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，

∵AB=AC，OC=OD，

而∠ACB=∠OCD，

∴∠A=∠COD，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∴∠ADE+∠ODF=90°，

而∠DOF+∠ODF=90°，

∴∠ADE=∠DOF，

∴sin∠DOF=sin∠ADE=，

在Rt△DOF中，sin∠DOF==，

设DF=x，则OD=3x，

∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，

∵DHOC=OFCD，

∴DH==x，

在Rt△ODH中，OH==x，

∴tan∠DOH===，

∴tan∠A=．