Question

【题目】【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2.我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形” ．

【探究1】(1)如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F.求正方形ABCD的边长．

【探究2】(2)如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC＝60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD＝90°，直线DF分别交直线l，k于点G、点M.求证：EC＝DF．

【拓展】(3)如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A，B分别落在直线l，k上，AB⊥k于点B，且∠ACD＝90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M，点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD＝AE，DH⊥l于点H.猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当2＜DH＜4时，BC∥DE．理由见解析.

【解析】（1）证明△ABE≌△BCF，即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；
（3）连接AC，证明直角△AEC≌直角△AFD即可证得；
（4）首先证明AM⊥BC，然后证明Rt△ABE≌Rt△ACD，得到∠BAE=∠CAD，则AM⊥ED，即可证得BC∥DE．

（1）解：∵l∥k，BE⊥l，

∴∠BFC=∠BEA=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ABE+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，∠BEA=∠CFB，∠BAE=∠CBF，AB=BC

，∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

∵d1=d3=1，d2=2，

∴BE=3，AE=1，

在直角△ABE中，AB===，

即正方形的边长是；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，

∴AC=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

∵AE⊥k，∠AFD=90°，

∴∠AEC=∠AFD=90°，

在Rt△AEC和Rt△AFD中，AC=AD，AE=AF，

，

∴Rt△AEC≌Rt△AFD（HL），

∴EC=DF；

（3）解：当2＜DH＜4时，BC∥DE．理由如下：

如图3所示，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM，

则∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，

在Rt△ABM和Rt△ACM中，AM=AM，AB=AC，

，

∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），

∴∠BAM=∠CAM，

∴AM⊥BC，

在Rt△ABE和Rt△ACD中，AE=AD，AB=AC，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），

∴∠BAE=∠CAD，

∴∠EAM=∠DAM，

∴AM⊥ED，

∴BC∥DE．

“点睛”本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确构造相似的三角形是关键，解题时根据题意正确作出辅助线．