Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，则y=﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，

∴有 ，解得： ，

∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，

整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，

∴xA+xB=2+k，xAxB=﹣3．

∵原点O为线段AB的中点，

∴xA+xB=2+k=0，

解得：k=﹣2．

当k=﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，

解得：xA=﹣ ，xB= ．

∴yA=﹣2xA=2 ，yB=﹣2xB=2 ．

故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣ ，2 ），点B的坐标为（ ，﹣2 ）

（3）

解：假设存在．

由（2）可知：xA+xB=2+k，xAxB=﹣3，

S△ABC= OC|xA﹣xB|= ×3× = ，

∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．

∵（2+k）2非负，无解．

故假设不成了．

所以不存在实数k使得△ABC的面积为

【解析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（﹣1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，结合点O为线段AB的中点即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出xA、xB ， 在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标；（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，即可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值．本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系、解一元二次方程以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合根与系数的关系求出k值；（3）利用反正法找出方程无解．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将正比例函数解析式代入二次函数解析式中，利用三角形的面积公式结合根与系数的关系找出关于k的方程是关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线与坐标轴的交点(一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．)．