Question

【题目】（本小题满分11分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；

（2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）如图1中，

∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，（2分）

∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，（4分）

∴AE是△ABC的一条特异线．（5分）

（2）如图2中，

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°，

如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=CB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意，舍去）．（8分）

如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°–20°–20°=140°，（9分）

当CD为特异线时，不合题意．（10分）

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．（11分）