Question

【题目】某数学兴趣小组利用大小不等、颜色各异的正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题。

探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.

探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件不变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）

小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件不变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看。

探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（不含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】 (1)见解析;(2) F（ ，）.

【解析】分析：探究1：取AB的中点H，连接EH，根据同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，证明△HAE≌△CEF即可；

探究2：①在AB上取点P，连接EP，同（1）的方法相似，证明△PAE≌△CEF即可；

②延长BA至H，使AH=CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF即可．

探究3：设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，只要证明FG=FH，由此构建方程即可解决问题；

详解：探究1：如图1，取AB的中点H，连接EH．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．

∵AH=EC，∴BH=BE，∴∠BHE=45°，∠AHE=135°．

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．

在△HAE和△CEF中，∵，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF；

探究2：①结论：是．

理由：如图2，在AB上取点P，连接EP．

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．

∵AP=EC，∴BP=BE，∴∠BPE=45°，∠APE=135°．

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF，∴AE=EF；

②结论：是．

理由：如图3，延长BA至H，使AH=CE，连接HE．

∵BA=BC，AH=CE，∴BH=BE，∴∠H=45°．

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=45°，∴∠H=∠ECF．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，

∴∠HAE=∠CEF．

在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF．

探究3：②设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，

则CH=a﹣1，FH=﹣2a+3．

∵CF为角平分线，∴FH=CH，∴a﹣1=﹣2a+3，解得：a=．当a=时，﹣2a+3=﹣2×+3=，∴F点坐标为（）．