Question

【题目】如图在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．

（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；

（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】试题分析：（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；（2）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出DE﹣BE=DE﹣DF=EF=2HE=2．

试题解析：（1）∵AC=BC，∠CDE=∠A，

∴∠A=∠B=∠CDE，

∴∠ACD=∠BDE，

又∵BC=BD，

∴BD=AC，

在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED（ASA），

∴CD=DE；

（2）∵CD=BD，

∴∠B=∠DCB，

又∵∠CDE=∠B，

∴∠DCB=∠CDE，

∴CE=DE，

如图，在DE上取点F，使得FD=BE，

在△CDF和△DBE中，

，

∴△CDF≌△DBE（SAS），

∴CF=DE=CE，

又∵CH⊥EF，

∴FH=HE，

∴DE﹣BE=DE﹣DF=EF=2HE=2．