Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．

（1）求抛物线所对应函数的表达式；

（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；

（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）存在，y=0.5x-1；（3）存在，当点P为P1（0，1）时，点Q为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；当点P为P2（1，2）时，点Q为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；（4）存在，H（0.5，3）

【解析】解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，

∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，

∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，

∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）

∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入

得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，

（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.

∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），

设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5

∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，

（3）存在符合条件的点P，Q．

∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，

∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，

∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，

∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）

∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．

∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；

当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；

（4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得

-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，

∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5

∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为（0.5，3）