Question

【题目】已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．

探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；

（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；

（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．

Answer 1

【答案】（1）全等．（2）△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．（3）当B1C=3﹣时，△FCB1与△B1DG全等．

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，即得∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，根据同角的余角相等可得∠A1DE=∠CDF，即可证得结论；

（2）△B1DG和△EA1G全等证法同（1）；设FC= ，则B1F=BF= ，B1C=DC=1，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而求得△FCB1与△B1DG相似的相似比；

（3）设，则有， ，在直角中，根据勾股定理列方程求解即可.

（1）全等．

∵四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，

由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，

所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，

所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）；

（2）△B1DG和△EA1G全等．

△FCB1与△B1DG相似，设FC= ，则B1F=BF= ，B1C=DC=1，

所以，所以，

所以△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3；

（3）△FCB1与△B1DG全等．设，则有， ，

在直角中，可得，

整理得，解得 (另一解舍去)，

所以，当B1C=时，△FCB1与△B1DG全等．