Question

【题目】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）请探究线段AF与FG的倍数关系，并证明你的结论。

（3）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF=3 FG ；（3）

【解析】分析：（1）先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；

（2）证明△EFG∽△AEG即可得解.

（3）作EH⊥AF于点H，如图1，利用勾股定理计算出AB=2，利用△EFG∽△AEG得到，再证明Rt△AEF∽Rt△ACB得到，所以，则EG=2x，AG=4x，AF=3x，EF=x，AE=x，接着利用相似比表示出EH=x，AH=x，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用CF=4-3x可确定x的范围；

详解：（1）证明：∵ED=BD，

∴∠B=∠2，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°．

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠A=∠2，

∵∠EGF=∠AGE，

∴△EFG∽△AEG；

（2）答：AF=3 FG

证明：作EH⊥AF于点H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴ ．

∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，．

∵ △EFG∽△AEG，

∴ ．

∴ EG=2 FG，

∴AG=2 EG=4 FG

∴AF=3 FG

（3）∵ FG=x，

∴ EG=2x，AG=4x．

∴ AF=3x．

∵ EH⊥AF，

∴ ∠AHE=∠EHF=90°．

∴ ∠EFA+∠FEH=90°．

∵ ∠AEF=90°，

∴ ∠A+∠EFA=90°．

∴ ∠A=∠FEH．

∴ tanA =tan∠FEH．

∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，．

∴ EH=2HF．

∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，．

∴ AH=2EH．

∴ AH=4HF．

∴ AF=5HF．

∴ HF=．

∴ ．

∴ ．

x的取值范围．