Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴点B的坐标为（5，4）．

∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如图2，

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为y= x+ ．

设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．

∴yP= t+ ，yQ=﹣ t2+ t+4．

∴PQ=yQ﹣yP=﹣ t2+ t+4﹣（ t+ ）

=﹣ t2+ t+4﹣ t﹣

=﹣ t2+ +

=﹣ （t2﹣2t﹣15）

=﹣ [（t﹣1）2﹣16]

=﹣ （t﹣1）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3≤t≤5，

∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为 ．

∴线段PQ的最大值为 ．

（3）解：①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ = ．

∴xH=xG=xM= ．

∴yG= × + = ．

∴GH= ．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴ ．

∴ = ．

解得：MH=11．

∴点M的坐标为（ ，﹣11）．

②当∠ABM=90°时，如图4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣ = ，DG=4﹣ = ，

∴BG=

=

= ．

同理：AG= ．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴ ．

∴ = ．

解得：MG= ．

∴MH=MG+GH

= +

=9．

∴点M的坐标为（ ，9）．

综上所述：符合要求的点M的坐标为（ ，9）和（ ，﹣11）．

【解析】（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键．