Question

【题目】若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2 ．
（1）如图①，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，∠D=150°，比较S1与S2的大小为；
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1=S2
D.不能确定
（2）说明（1）的理由．
（3）如图②，在△ABC与△DEF中，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，点E在以D为圆心，DE长为半径的半圆上运动，∠EDF的度数为α，比较S1与S2的大小（直接写出结果，不用说明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）C
（2）解：如图1，

作BG⊥AC垂足为G，作EH⊥DF，垂足为H，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC

在Rt△EDH中，∠EDH=180°﹣∠EDF=30°，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsin30°= ED，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DE，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1=S2

（3）解：如图2，过点B作BG⊥AC，

①当0°＜α≤90°时，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1= DF×DE= DF×DE× ，

在Rt△EDH中，∠EDH=α，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsinα，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DEsinα，

Ⅰ、当sinα＜ 时，即：0°＜α＜30°时，S1＞S2，

Ⅱ、当sinα= 时，即：α=30°时，S1=S2，

Ⅲ、当sinα＞ 时，即：30°＜α≤90°时，S1＜S2，

②当90°＜α＜180°时，设∠MDN=β=180°﹣α，

同①方法得，S1= DF×DE× ，

S2= DF×DEsinβ，

Ⅰ、当sinβ＜ 时，即：0°＜β＜30°时，

∴0°＜180°﹣α＜30°，即：150°＜α＜180°时，S1＞S2，

Ⅱ、当sinβ= 时，即：β=30°时，即：α=150°时，S1=S2，

Ⅲ、当sinβ＞ 时，即：30°＜β＜90°时，即：90°＜α＜150°时，S1＜S2，

综上所述，

Ⅰ．当α＜30°、150°＜α＜180°时S1＞S2；

Ⅱ．当α=30°、α=150°时S1=S2；

Ⅲ．当30°＜α＜150°时，S1＜S2．

【解析】（1）先直接判断出结论，（2）用三角形的面积公式即可得出结论；（3）用三角形的面积公式，再用三角函数中正弦值的性质分类讨论即可得出结论．