Question

【题目】如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．

（3）当△ABC满足什么条件时，边形ADEF是菱形，并说明理由．

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）AB=AC时，四边形ADEF是菱形；（4）∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形．

【解析】

试题分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；

（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，所以AB=AC，则△ABC是等腰三角形；

（4）若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，且∠DAF=90°，所以△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°．

证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC与△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．

则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴当AD=AF时，四边形ADEF是菱形，

又∵AD=AB，AF=AC，

∴AB=AC时，四边形ADEF是菱形；

（4）综合（2）、（3）知，当△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形．