Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B（0，m)、C（0，n)两点，且m、n（m>n)满足方程组的解.

（1）求证：AC⊥AB；

（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）点P的坐标为：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

【解析】

（1）先解方程组得出m和n的值，从而得到B，C两点坐标，结合A点坐标算出AB2，BC2，AC2，利用勾股定理的逆定理即可证明；

（2）过D作DF⊥y轴于F，根据题意得到BF=FC，F（0，1），设直线AC：y=kx+b，利用A和C的坐标求出表达式，从而求出点D坐标；

（3）分AB=AP，AB=BP，AP=BP三种情况，结合一次函数分别求解.

解：（1）∵，

得：，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴AB2=AO2+BO2=12，AC2=AO2+OC2=4，BC2=16

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

即AC⊥AB；

（2）如图1中，过D作DF⊥y轴于F．

∵DB=DC，△DBC是等腰三角形

∴BF=FC，F（0，1），

设直线AC：y=kx+b，

将A（﹣，0），C（0，﹣1）代入得：

直线AC解析式为：y=x-1，

将D点纵坐标y=1代入y=x-1，

∴x=-2，

∴D的坐标为（﹣2，1）；

（3）点P的坐标为：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，

把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为：y=x+3，

令y=0，代入y=x+3，

可得：x=，∵OB=3，

∴BE=，

∴∠BEO=30°，∠EBO=60°

∵AB=，OA=，OB=3，

∴∠ABO=30°，∠ABE=30°，

当PA=AB时，如图2，

此时，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P与E重合，

∴P的坐标为（﹣3，0），

当PA=PB时，如图3，

此时，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴点P的横坐标为﹣，

令x=﹣，代入y=x+3，

∴y=2，

∴P（﹣，2），

当PB=AB时，如图4，

∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，

∴P1B=AB=2，

∴EP1=6﹣2，

∴FP1=3﹣，

令y=3﹣代入y=x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣），

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，

∴P2B=AB=2，

∴EP2=6+2，

∴GP2=3+，

令y=3+代入y=x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，

点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．