Question

【题目】已知，点A(t,1)是平面直角坐标系中第一象限的点，点B,C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB,AC,BC.

（1）如图1,若OB=1,OC =,且A,B,C在同一条直线上，求t的值；

（2）如图 2,当 t =1，∠ACO +∠ACB = 180°时，求 BC + OC -OB 的值；

Answer 1

【答案】（1）t=3（2）2.

【解析】

（1）根据OB=1,OC =得到直线BC的解析式，令y=1，即可求出t的值；

（2）延长BC至D根据∠ACO +∠ACB = 180°得到AC平分∠OCD,作AG⊥OC，AH⊥BD，根据角平分线的性质得到AG=AH，作AE⊥y轴，由A（1,1）得到AE=AG=AH=1,作AF=AC交y轴于F点，，作AF=AC交y轴于F点，根据HL可证明△AEF≌△AGC，△ABE≌△ABH,则EF=CH，BC=BF，故BC + OC –OB=BF+OG+GC-OB=OB+OF+OG+GC-OB=OF+GC+OG= OF+EF+OG=OE+OG=2.

（1）根据OB=1,OC =

∴B（0，-1），C（，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b,

代入得

解得

∴直线BC的解析式为y=x-1，令y=1，

即x=3,

故t=3.

（2）延长BC至D

∵∠ACO +∠ACB = 180°

∴∠ACO=∠ACD，

∴AC平分∠OCD,

作AG⊥OC，AH⊥BD，

∴AG=AH，

作AE⊥y轴，∵A（1,1）得到AE=AG=AH=1,

在y轴上找一点F，使AF=AC，

∵AE=AG,

∠AEF=∠AGC=90°，AF=AC

∴△AEF≌△AGC（HL），

∴EF=CG，

同理可得△ABE≌△ABH,

∴BE=BH，

∴BF=BE-EF,BC=BH-CH

则BC=BF，

故BC+OC–OB=BF+OG+GC-OB=OB+OF+OG+GC-OB=OF+GC+OG= OF+EF+OG=OE+OG

=2.