Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；

（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？

Answer 1

【答案】（1）是平行四边形，理由见解析（2）t=2s或14s；

【解析】

试题分析：（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否互相平分；已知了四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可证得BD、EF互相平分，即四边形DEBF是平行四边形；

（2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可据此求出时间t的值．

解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD；

∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，

∴AE=CF；

∴OE=OF；

∴BD、EF互相平分；

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）∵四边形DEBF是平行四边形，

∴当BD=EF时，四边形DEBF是矩形；

∵BD=12cm，

∴EF=12cm；

∴OE=OF=6cm；

∵AC=16cm；

∴OA=OC=8cm；

∴AE=2cm或AE=14cm；

由于动点的速度都是1cm/s，

所以t=2（s）或t=14（s）；

故当运动时间t=2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．