Question

【题目】我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）分别求出经过点C和点D的“蛋圆”的切线的表达式．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）y=x+；y=﹣2x﹣3．

【解析】

试题分析：（1）连接CM，易求点A，B的坐标，进而可得到AB的长，则圆的半径可求出，再由勾股定理可求出OC的长，继而可求出点C的坐标；

（2）由（1）可知点C的坐标，设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，然后根据三角形性质求出G点坐标，用待定系数法求出直线GC的解析式；因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx﹣3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．

解：（1）∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，

∴点A（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），

∴AB=4，

∵半圆圆心为点M，

∴BM=AM=2，

∴OM=1，

连接CM，

∴OC==，

∴点C的坐标是（0，）；

（2）设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，

∵GC是⊙M的切线，

∴∠GCM=90°，

∴cos∠OMC==，

∴=，

∴MG=4，

∴G（﹣3，0），

∴直线GC的表达式为y=x+；

设过点D的直线表达式为y=kx﹣3，

∴，

∴x2﹣（2+k）x=0，

∴△=[﹣（2+k）]2=0，

∴k=﹣2，

∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=﹣2x﹣3．