Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）解：如图1，

∵点A，B关于直线l对称，

∴连接BC交直线l于点P，

由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∴直线l：x=1，C（0，﹣3），

∵B（3，0），

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

当x=1时，y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：设点M（1，m），

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴AC2=10，AM2=m2+4，CM2=（m+3）2+1=m2+6m+10，

∵△MAC为直角三角形，

∴当∠ACM=90°时，∴AC2+CM2=AM2，

∴10+m2+6m+10=m2+4，

∴m=﹣ ，

∴M（1，﹣ ）

当∠CAM=90°时，∴AC2+AM2=CM2，

∴10+m2+4=m2+6m+10，

∴m= ，

∴M（1， ）

当∠AMC=90°时，AM2+CM2=AC2，

∴m2+4+m2+6m+10=10，

∴m=﹣1或m=﹣2，

∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），

即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）

【解析】（1）方法一、将A、B两点坐标代入函数解析式即可求。方法二、A、B两点是抛物线与x轴的交点坐标，a=1可设抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）.
（2）由题意可知点A，B关于直线l对称，连接BC交直线l于点P，求出直线BC的函数解析式，即可求出点P的坐标。
（3）由于点M也是直线l上的动点，△MAC为直角三角形，因此设点M（1，m），根据A、C两点坐标，分别求出AC2、AM2、CM2。再分三种情况：当∠ACM=90°时，∴AC2+CM2=AM2，当∠CAM=90°时，∴AC2+AM2=CM2，当∠AMC=90°时，AM2+CM2=AC2，分别建立方程，求出m的值，即可求得点m的坐标。
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和轴对称-最短路线问题的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能正确解答此题．