Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（ ）

A.①②④B.①②C.①④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得PD＝DF．

②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；

③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；

④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；

∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，

∴∠DPF＝∠DBC，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠DBC＝45°

∴∠DPF＝∠DBC＝45°，

∴∠PDF＝∠DPF＝45°，

∴PF＝EC＝DF，

在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，

∴PD＝DF．

故①正确；

②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，

故②正确；

③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，

∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，

故③错误．

④∵四边形PECF为矩形，

∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，

∵正方形为轴对称图形，

∴AP＝PC，

∴AP＝EF，

故④正确；

故选：A．