Question

【题目】如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；

（3）若EC=FC=1，求AB的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）+1

【解析】分析：（1）由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；

（2）根据EG=BE，FG=DF，得到EF=BE+DF，于是得到△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，即可得到结论；

（3）根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF=，于是得到结论．

详（1）证明：由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，

∴∠BAD=2∠EAF=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AB=AG，AD=AG，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）证明：∵EG=BE，FG=DF，

∴EF=BE+DF，

∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，

∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；

（3）∵EC=FC=1，

∴BE=DF，

∴EF=，

∵EF=BE+DF，

∴BE=DF=EF=，

∴AB=BC=BE+EC=+1．