Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．

（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，

∵点A（4，0），点B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，

∴BA=BA′，∠ABA′=90°，

∴△ABA′为等腰直角三角形，

∴AA′= BA=5

（2）

解：作O′H⊥y轴于H，如图②，

∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，

∴∠HBO′=60°，

在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，

∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，

∴OH=OB+BH=3+ = ，

∴O′点的坐标为（ ， ）

（3）

解：∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，

∴BP=BP′，

∴O′P+BP′=O′P+BP，

作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，

则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，

∵点C与点B关于x轴对称，

∴C（0，﹣3），

设直线O′C的解析式为y=kx+b，

把O′（ ， ），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直线O′C的解析式为y= x﹣3，

当y=0时， x﹣3=0，解得x= ，则P（ ，0），

∴OP= ，

∴O′P′=OP= ，

作P′D⊥O′H于D，

∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，

∴∠DP′O′=30°，

∴O′D= O′P′= ，P′D= O′D= ，

∴DH=O′H﹣O′D= ﹣ = ，

∴P′点的坐标为（ ， ）

【解析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；（3）由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y= x﹣3，从而得到P（ ，0），则O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．
【考点精析】本题主要考查了线段的基本性质和含30度角的直角三角形的相关知识点，需要掌握线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短；连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离；线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半才能正确解答此题．