Question

【题目】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．

（1）如图1所示，若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标；

（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AE，理由见解析；（3）=1，理由见解析

【解析】

（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求；

（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，可证△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，则AF=OE，可证△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解题．

解：∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），

∴AD=OC，

在Rt△ADC和Rt△COB中

，

∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），

∴OB=CD=2，

∴点B的坐标是（0，2）；

（2）延长BC，AE交于点F，

∵AC=BC，AC⊥BC，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴AF=BD，

在△ABE和△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF，

∴BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，则AF=OE，

∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，

∴∠ACO=∠CBO，

在△BCO和△ACE中，

，

∴△BCO≌△ACE（AAS），

∴CE=OB，

∴OB+AF=OC．

∴=1．