Question

【题目】（教材回顾）课本88页，有这样一段文字：人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律．

（数学问题）三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这(n+3)个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？

（问题探究）为了解决这个问题，我们可以从n=1，n=2，n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．

三角形内点的个数	图形	最多剪出的小三角形个数
1		3
2		5
3		7
…	…	…

（问题解决）

(1) 当三角形内有4个点时，最多剪得的三角形个数为______________；

(2) 你发现的变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加______个；

(3) 猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得_______________个三角形；

像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．

（问题拓展）

（4）请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）2；（3）2n+1；（4）n2+2n+1．

【解析】

（1）利用表格中数据得出三角形个数的变化可推出n=4时，最多剪得的三角形的个数；

（2）利用（1）中数据得出三角形个数的变化规律即可；

（3）利用（2）中变化规律即可得出当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得三角形的个数；

问题拓展：利用补项法求出答案.

（1）∵当三角形内点的个数为1时，最多可以剪得3个三角形；

当三角形内点的个数为2时，最多可以剪得5个三角形；

当三角形内点的个数为3时，最多可以剪得7个三角形；

∴当三角形内点的个数为4时，最多可以剪得9个三角形；

故答案为：9；

（2）由（1）的结果可得出：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个；

故答案为：2；

（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，

∴当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得(2n+1)个三角形；

故答案为：2n+1；

【问题拓展】

1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）

= [1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]

=（n+1）（1+2n+1）

=（n+1）2

=n2+2n+1．