Question

【题目】在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；

②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】（1）线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．（2）线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．

【解析】

试题分析：①线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．

②结论仍然成立．证明的方法与（1）类似．

试题解析：①结论：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：

如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．

②结论仍然成立．理由如下：如图2中，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，

所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．