Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝－x＋b分别与x、y轴交于A(3，0)、B两点．

（1）如图，求点B的坐标；

（2）点D为线段OB上的动点（点D不与点O重合），以AD为边，在第一象限内作正方形ADEF．

①如图，设点D为(0，m)，请用含m的代数式表示点F的坐标；

②如图，连结EB并延长交x轴于点G．当D点运动时，G点的位置是否发生变化？如果不变，请求出G点的坐标；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）(0，3)；（2）①F(m＋3，3) ，②不变，(－3，0)

【解析】

（1）要求B点坐标，得先求函数表达式，然后代入求值即可．

（2）①根据题意作图，由正方形的性质证明出△DOA≌△AMF，用m表示各边长，即可表示出点F的坐标．

②过E作EH⊥x轴于H，由正方形的性质证明出△HDE≌△OAD，进而证出△BHE是等腰直角三角形，即证出△BOG为等腰直角三角形即得到结果．

解： (1)把A(3，0)坐标代入直线AB解析式y＝－x＋b，

得0＝－3＋b，

解得：b＝3，

∴ 直线AB的解析式为y＝－x＋3，

当x＝0时，y＝3，

∴ 点B的坐标是（0，3）；

(2)①过F作FM⊥x轴于M，则∠AMF＝∠AOD＝90°，

∵ 四边形ADEF正方形，

∴ AD＝AF，∠DAF＝90°，

∴ ∠DAO＋∠FAM=90°，∠AFM＋∠FAM=90°，

∴ ∠DAO＝∠AFM，

∴ △DOA≌△AMF，

∴ FM＝OA＝3，AM＝OD＝m，

∴ OM＝m＋3，

∴ F(m＋3，3) ；

② G点位置不变，坐标为：G（－3，0），

过E作EH⊥x轴于H则∠EHD＝∠DOA＝90°，

∵ 四边形ADEF正方形，

∴ AD＝DE，∠ADE＝90°，

∴ ∠ADO＋∠HDE＝90°，∠ADO＋∠DAO＝90°，

∴ ∠HDE＝∠OAD，

∴ △HDE≌△OAD

∴ HE＝OD，OA＝DH，

∵ OA＝OB，

∴ DH＝OB，

∴ DH－BD＝BO－BD，

即：BH＝OD，

又HE＝OD，

∴ BH＝HE，

∴ △BHE是等腰直角三角形，

∴ ∠HBE＝45°，

∴ ∠OBG＝45°，

∴ △BOG为等腰直角三角形，

∴ OG＝OB＝3，

∴ G（－3，0）．

方法二：同方法一先证△HDE≌△OAD ，

∴ HE＝OD＝m，OA＝DH＝3，

∴ E(m，m＋3)，

∵ B(0，3)，

设直线BE的解析式为y＝kx＋b

则∵ m＞0，

∴k＝1，

∴ 直线BE的解析式为y＝x＋3，

当y＝0时，x＝－3，

∴ 点G的位置不变，坐标为（－3，0）．