Question

【题目】某校夏令营活动中，科技小组同学准备在3名老师的带领下前往国家森林公园考察，公园内有A、B两个景区可供选择，当地有甲、乙两家旅行社，可以在其中选一个两家旅行社收取的服务费用定价均为每人200元，实际收费标准如下：甲旅行社表示服务费用学生按8折优惠，带队老师免费：乙旅行社表示服务费用师生一律按照7折优惠两个景区门票定价均为每人100元，实际收费标准如下：A景区对师生均收半价，B景区规定总人数超过30人时，按4折优惠，否则按6折优惠.

(1)经核算，两家旅行社的实际服务费正好相等请你分析去哪个景区比较合算？

(2)若该学校在活动中，增加了8名学生，老师人数不变你认为去哪个景区比较合算？

(3)当有n名学生，3名老师参加时，试给出合理的方案，使得总费用最少.(总费用＝服务费+门票费用)

Answer 1

【答案】(1)去A景区比较合算；(2)去B景区比较合算；(3)当n＜21时，选择甲旅行社，去A景区总费用最少；当n＝21时，任选一个旅行社，去A景区总费用最少；当21＜n≤27时，选择乙旅行社，去A景区总费用最少；当n＞27时，选择乙旅行社，去甲景区总费用最少.

【解析】

（1）设学生有x人，根据“两家旅行社的实际服务费正好相等”列方程，求出学生人数，然后判断即可；

（2）增加了8名学生，老师人数不变，则学生29人，总人数为32人，得出去B景区比较合算；

（3）求出甲旅行社服务费用S=160n，乙旅行社服务费用S'=420+140n，得出S﹣S'=20（n﹣21），再分情况讨论即可．

（1）设学生有x人，根据题意得：

200x200×（3+x），

解得：x=21，∴总人数为：24．

∵A景区对师生均收半价，B景区规定总人数超过30人时，按4折优惠，否则按6折优惠，∴去A景区比较合算；

（2）增加了8名学生，老师人数不变，则学生29人，总人数为：32．

∵A景区对师生均收半价，B景区规定总人数超过30人时，按4折优惠，否则按6折优惠，∴去B景区比较合算；

（3）甲旅行社服务费用S200n=160n（元），乙旅行社服务费用S'200×（3+n）=420+140n（元），∴S﹣S'=160n﹣420﹣140n=20n﹣420=20（n﹣21），∴对于旅行社，分三种情况讨论：

①当n＜21时，S＜S'，选择甲旅行社合算；

②当n=21时，两家旅行社的服务费用相同；

③当n＞21时，选择乙旅行社合算；

对于景区，分两种情况讨论：

①当n+3≤30，即n≤27时，选择A景区合算；

②当n+3＞30，即n＞27时，选择B景区合算；

综上所述：当n＜21时，选择甲旅行社，去A景区总费用最少；

当n=21时，任选一个旅行社，去A景区总费用最少；

当21＜n≤27时，选择乙旅行社，去A景区总费用最少；

当n＞27时，选择乙旅行社，去甲景区总费用最少．