Question

【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E在BC边上,∠AED=90°

(1)求证:∠BAE=∠CED;(2)若AB+CD=DE,求证:AE+BE=CE

(3)在(2)的条件下,若△CDE与△ABE的面积的差为18,CD=6,求BE的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3.

【解析】

（1）由∠AEB＋∠CED＝180°90°＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，即可得出结论；

（2）在ED上截取EF＝AB，过点F作FG⊥DE交BC于G，连接DG，证出∠BAE＝∠FEG，由ASA证得△ABE≌△EFG得出AE＝EG，BE＝FG，由AB＋CD＝DE，EF＋DF＝DE，得出DF＝CD，由HL证得Rt△DFG≌Rt△DCG得出FG＝CG，则BE＝CG，即可得出结论；

（3）由△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，得出S△ABE＝S△EFG，S△DFG＝S△DCG，则S△CDES△ABE＝2S△CDG＝18，得出S△CDG＝9，则CGCD＝9，即可得出结果．

（1）证明：∵∠AEB＋∠CED＝180°90°＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CED；

（2）证明：在ED上截取EF＝AB，过点F作FG⊥DE交BC于G，连接DG，如图所示：

∵∠AEB＋∠GEF＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，

在△ABE和△EFG中，

，

∴△ABE≌△EFG（ASA），

∴AE＝EG，BE＝FG，

∵AB＋CD＝DE，EF＋DF＝DE，

∴DF＝CD，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴FG＝CG，

∴BE＝CG，

∴AE＋BE＝EG＋CG＝CE；

（3）解：∵△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，

∴S△ABE＝S△EFG，S△DFG＝S△DCG，

∴S△CDES△ABE＝2S△CDG＝18，

∴S△CDG＝9，

∴CGCD＝9，即×CG×6＝9，

∴CG＝BE＝3．