Question

【题目】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】2﹣2

【解析】分析：根据正方形的性质可得AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AFD=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=2，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．

详解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．

∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF=DO=AD=2．在Rt△ODC中，OC===2，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．

故答案为：2﹣2．