Question

【题目】如图：在等边三角形ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，

（1）试证明△DEC是等腰三角形；（2）在图中找出与AE相等的线段，并证明

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BD=AE，证明见解析.

【解析】

(1)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由三角形外角的性质可得∠ABC=∠D+∠DEB，再根据∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ACE=∠DEB，推得∠D=∠ECB即可得到结论；

(2)图中BD=AE，证明过程为：在AC上截取AF=AE，则可得△AEF是等边三角形，通过推导得出BE=CF，AE=EF，∠EFC=∠DBE，然后利用ASA证明△DEB≌△ECF，根据全等三角形的性质以及等量代换即可得.

(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵∠ABC是△DBE的外角，

∴∠ABC=∠D+∠DEB，

∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ACE=∠DEB，

∴∠D=∠ECB，

∴ED=EC，

即△DEC是等腰三角形；

(2)BD=AE，证明如下：

如图，在AC上截取AF=AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，AB=AC，

∴∠EBD=120°，AB-AE=AC-AF，△AEF是等边三角形，

∴BE=CF，AE=EF，∠AFE=60°，

∴∠EFC=120°，

∴∠EFC=∠DBE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DEB≌△ECF，

∴BD=EF，

∴BD=AE.