Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则DE=；
②当∠B=°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD．

∵AC是直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDB=90°，

又∵E为BC边的中点，

∴DE为直角△DCB斜边的中线，

∴DE=CE= ．

∴∠DCE=∠CDE，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切线．

（2）3；45
【解析】（2）解：①∵∠B=30°，AC=2 ，∠BCA=90°，
∴tan30°= = = ，
解得：BC=6，
则DE= BC=3；
故答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
（1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；（2）①直接利用锐角三角函数关系得出BC的长，再利用直角三角形的性质得出DE的长；②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．