Question

【题目】如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点．

图 ① 图②
（1）求 、 的值；
（2）如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；
（3）如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD⊥x轴，CD=2，

∴抛物线对称轴为直线l:x=1，

∴=1，则b=-2。

∵OB=OC，C（0，c），

∴B点的坐标为（-c,0），

∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），

∴c=-3,

（2）

解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）

设点F的坐标为（0，m），

∵对称轴为直线l:x=1,

∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6,

∵点F在BE上，

∴m=2×2-6=-2，

即点F的坐标为（0，-2）。

（3）

解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n,0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1。

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1,n2-4n）,R点的坐标为（n,n2-4n）,N点的坐标为（n,n2-2n-3）,

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2,

∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1,n2-4）.

同理NQ2=1+（2n-1）2,

∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（,）.

综上所述，满足题意的点Q的坐标为（,）和(,)

【解析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l:x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函数解析式，求出c的值即可;
（2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可设P（n,0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN，垂足为R，由S△PQN=S△APM ， 可列出方程求出QR=1；
分类讨论点Q在直线PN的左侧和Q在直线PN的右侧时，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2,求出当n为多少时，NQ为最小值，写出相对应的Q的坐标。
【考点精析】掌握二次函数的图象和三角形的面积是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；三角形的面积=1/2×底×高．