Question

【题目】感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ；

探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B.、∠C之间的关系，并说明理由；

应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=_______度；(直接填答案，不需证明)

拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=_______度. (直接填答案，不需证明)

Answer 1

【答案】 40 125

【解析】

（1）如图5，连接AD并延长至F，然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）由题意可知∠BXC=90°，结合∠A=50°和（1）中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

（3）如图6，利用（1）中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.

（1）如图5，连接AD并延长至点F.

∵∠BDF为△ABD的外角，

∴∠BDF=∠BAD+∠B，

同理可得∠CDF=∠CAD+∠C，

∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）由题意可得∠BXC=90°，由（1）中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

∵∠A=50°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

（3）如图6，∵∠A=100°，∠BDC=150°，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，

∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°，

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，

∴∠ABE+∠ACE=（∠ABD+∠ACD）=25°，

又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，

∴∠BEC=100°+25°=125°.