Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D，E分别为边BC，AC上一点，将△ADE沿着直线AD翻折，点E落在点F处，如果DF⊥BC，△AEF是等边三角形，那么AE＝_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

由题意可得∠CAD=30°，∠AEF=60°，根据勾股定理可求CD=2，由AC∥DF，则∠AEF=∠EFD=60°，且DE=DF，可得∠DEF=∠DFE=60°，可得∠DEC=60°．根据勾股定理可求EC的长，即可求AE的长．

如图：

∵折叠，

∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF，

∴∠DFE＝∠DEF；

∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝∠AEF＝60°，

∴∠EAD＝∠FAD＝30°；

在Rt△ACD中，AC＝6，∠CAD＝30°，

∴CD＝2；

∵FD⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥DF，

∴∠AEF＝∠EFD＝60°，

∴∠FED＝60°；

∵∠AEF+∠DEC+∠DEF＝180°，

∴∠DEC＝60°；

∵在Rt△DEC中，∠DEC＝60°，CD＝2，

∴EC＝2；

∵AE＝AC﹣EC，

∴AE＝6﹣2＝4；

故答案为：4．