Question

【题目】已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有实数根．

（2）设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；

（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22=25，转换为（x1+x2）2-2x1x2=25，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．

∵△=b2-4ac

=[-（m+3）]2-12m

=m2+6m+9-12m

=m2-6m+9

=（m-3）2；

又∵（m-3）2≥0，

∴b2-4ac≥0，

∴该方程总有实数根；

（2）∵x1+x2=m+3，x1x2=3m，x12+x22=25，

∴（x1+x2）2-2x1x2=25，

∴（m+3）2-2×3m=25，

9+m2=25， m2=16，

解得m=±4．

故m的值为±4．