Question

【题目】取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．
第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．

（1）判断△PBC的形状，并说明理由；
（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．
①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；
②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）

Answer 1

【答案】
（1）解：△PBC是等边三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，

由折叠的性质得：BN=NC= BC= PC，MN⊥BC，

∴PB=PC，∠PNC=90°，

在Rt△PNC中，sin∠NPC= = ，

∴∠NPC=30°，

∴∠PCB=60°，

∴△PBC是等边三角形

（2）解：①补全图形如图2所示：

由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABP=90°﹣60°=30°，

∵AB=BC，

∴AB=PB，

∴∠BAP=∠BPA= （180°﹣30°）=75°，

∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，

∵C关于直线AP的对称点为C′，

∴∠APC'=∠APC=135°；

②连接AC'，CC'，如图3所示：

由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，

∴∠CAC'=60°，

∴△CAC'是等边三角形，

∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，

在△AC'D和△CC'D中， ，

∴△AC'D≌△CC'D（SSS），

∴∠AC'D=∠CC'D= ∠AC'C=30°，

∵∠AC'P=∠ACP=15°，

∴∠PC'D=15°．

【解析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC= BC= PC，MN⊥BC，得出PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，由三角函数得出sin∠NPC= = ，求出∠NPC=30°，得出∠PCB=60°，即可得出结论；（2）①根据题意补全图形，由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAP=∠BPA=75°，求出∠APC=∠BPA+∠BPC=135°，再由得出的性质得出∠APC'=∠APC=135°；②由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，证出△CAC'是等边三角形，得出AC'=CC'，∠AC'C=60°，由SSS证明△AC'D≌△CC'D，得出∠AC'D=∠CC'D= ∠AC'C=30°，由∠AC'P=∠ACP=15°，即可得出∠PC'D=15°．
【考点精析】本题主要考查了全等三角形的性质和正方形的性质的相关知识点，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．