Question

【题目】如图，已知是三角形纸片的高，将纸片沿直线折叠，使点与点重合，给出下列判断：

①是的中位线；

②的周长等于周长的一半：

③若四边形是菱形，则；

④若是直角，则四边形是矩形．

其中正确的是(　　)

A.①②③B.①②④C.②④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得，进而得到EF是△ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．

解：∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

根据折叠可得：EF是AD的垂直平分线，

∴AO=DO=AD，AD⊥EF，

∴∠AOF=90°，

∴∠AOF=∠ADC=90°，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

，

∴EF是△ABC的中位线，

故①正确；

∵EF是△ABC的中位线，

∴△AEF的周长是△ABC的一半，

根据折叠可得△AEF≌△DEF，

∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，

故②正确；

∵EF是△ABC的中位线，

∴AE=AB，AF=AC，

若四边形AEDF是菱形，

则AE=AF，

∴AB=AC，

故③正确；

根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，

不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；

故选：A．