Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF平分∠ABE，EF=2，BF=4，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）8

【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；

（2）由（1）知△ABE是等腰三角形，得出BF⊥AE，AF=2EF=4，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AEBF，即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD；

（2）∵AB=BE，BF平分∠ABE，，

∴AF=2EF=4，BF⊥AE.

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

∠D=∠ECF ,

∠DAF=∠E,

AF=EF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AEBF=×4×4=8．