Question

【题目】已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（﹣ ，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．

（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠AOC=90°，

∴AC是⊙B的直径．

∴AC=2．

又∵点A的坐标为（﹣ ，0），

∴OA= ．

∴ ．

∴sin∠CAO= ．

∴∠CAO=30°

（2）

解：如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，

∵OD为⊙B的切线，

∴OB⊥OD．

∴∠BOD=90°．

∵AB=OB，

∴∠AOB=∠OAB=30°．

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．

在△AOD中，∠ODA=180°﹣120°﹣30°=30°=∠OAD．

∴OD=OA= ．

在Rt△DOE中，∠DOE=180°﹣120°=60°，

∴OE=ODcos60°= OD= ，ED=ODsin60°= ．

∴点D的坐标为 ．

设过D点的反比例函数的表达式为 ，

∴ ．

∴ ．

【解析】（1）在直角三角形ACO中，根据已知条件可以求得OA，AC的长，再根据勾股定理求得OC的长，根据锐角三角函数的概念求得∠CAO的度数；（2）要求反比例函数的表达式，需要求得点D的坐标．作DE⊥x轴于点E，根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的长，根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°．则OD=OA．从而求得OE，DE的长，再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．