Question

【题目】在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．

（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？

（2）若∠B=60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？

（3）若∠C=70°，当∠CPQ的度数为多少时，△CPQ为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）．

Answer 1

【答案】（1）cm/s；（2）当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；（3）当△CPQ为等腰三角形时，∠CPQ的度数为35°，40°，55°，70°．

【解析】

试题分析：（1）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）分两种情况；①当∠BPD=90°时，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②当∠BDP=90°时，根据三角形的内角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；

（3）分点P在边BC上或点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AB=20cm，D是AB的中点，

∴BD=10cm，

∵点Q的速度与点P的速度不同，

∴BP≠CQ，

要使△BPD和△CQP全等，

则BP=CP=8cm CQ=BD=10cm，

∴x=秒，

∴a==cm/s；

（2）①当∠BPD=90°时，

∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，

∴2BP=BD=10，

∴BP=5，

即2x=5，

∴x=2.5；

②当∠BDP=90°时，

∵∠B=60°，

∴∠BPD=30°，

∴BP=2BD=20，

即2x=20，

∴x=10；

∴当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；

（3）点P在边BC上，△CPQ为等腰三角形，

①当PQ=CQ，∵∠C=70°，

∴∠CPQ=∠C=70°，

②当PQ=PC，∵∠C=70°，

∴∠PQC=∠C=70°，

∴∠CPQ=180°﹣2×70°=40°，

③当PC=CQ，∵∠C=70°，

∴∠CPQ=∠CQP==55°，

点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，

∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，

∵PC=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP==35°，

综上所述：当△CPQ为等腰三角形时，∠CPQ的度数为35°，40°，55°，70°．