Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切线；（2）CD=．

【解析】解：（1）直线DE与⊙O相切；

证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO．

∵∠BCE=∠CAB，

∴∠BCE=∠ACO．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BCE+∠BCO=∠BCO+∠ACO=∠OCE=90°．

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵EC是圆O的切线，

∴CE2=BEAE．

∵CE=3，BE=2，

∴AE=．

∵AD⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴DA是⊙O的切线．

∴AD=CD．

∵AD2+AE2=DE2，

∴CD2+（）2=（CD+3）2，

∴CD=．