【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC上有一点P．

（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．

（2）在（1）的条件下，当BP＝，AD＝3时，求⊙O半径．

【答案】（1）补图见解析；理由见解析；（2）．

【解析】

（1）根据题意补全图形如图所示，情况一：点P在过点D与OD垂直的直线与BC的交点处，根据切线的定义即可得到结论；情况二：如图，当点P是BC的中点时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，连接CD，OD，根据圆周角定理得到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DP=CP，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由题意可知在Rt△BCD中，根据直角三角形的性质得到BC=2BP，求得BC=，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

解：（1）补全图形如图所示，

情况一：点P在过点D与OD垂直的直线与BC的交点处，

理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

情况二：如图，当点P是BC的中点时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，

证明：连接CD，OD，如上图，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

∵点P是BC的中点，

∴DP＝CP，

∴∠PDC＝∠PCD，

∵∠ACB＝90°，

∴∠PCD+∠DCO＝90°，

∵OD＝OC，

∴∠DCO＝∠ODC，

∴∠PDC+∠ODC＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP⊥OD，

∴直线DP与⊙O相切；

（2）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，P是BC的中点，

∴BC＝2BP，

∵BP＝，

∴BC＝，

∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，

∴△ACB∽△CDB，

∴，

∴，

设AB＝x，

∵AD＝3，

∴BD＝x﹣3，

∴x（x﹣3）＝（）2，

∴x＝5（负值舍去），

∴AB＝5，

∵∠BDC＝90°，

∴AC＝＝，

∴OC＝AC＝，

即⊙O的半径为．

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