Question

【题目】如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC．

（1）当点P与点A重合时，如图2．

①根据题意在图2中完成作图；

②判断EC与BC的位置关系并证明．

（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①作图见解析；②EC⊥BC．证明见解析；（2）EM＝EC．证明见解析；

【解析】

（1）①由题意直接根据要求画出图形即可．

②结论：EC⊥BC．证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题．

（2）由题意可知当BP=时，总有EM=EC．如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．

解：（1）①图形如图2中所示：

②结论：EC⊥BC．

理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠EAD＝∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴EC⊥BC．

（2）当BP＝时，总有EM＝EC．

理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．

∵PD＝PE，∠DPE＝∠SPN＝90°，

∴∠DPS＝∠EPN，

∵∠PSD＝∠N＝90°，

∴△DPS≌△EPN（AAS），

∴PH＝PS，∠PSD＝∠N＝90°，

∵∠PEQ＝∠PSQ＝∠SPN＝90°，

∴四边形PNQS是矩形，

∵PS＝PN，

∴四边形PNQS是正方形，

∵BP＝，∠B＝45°，AB＝2，

∴BS＝PS＝，BC＝2，

∴BQ＝2BS＝，QC＝，

∵M是BC的中点，

∴MC＝，

∴MQ＝QC＝，

∵EQ⊥CM，

∴NQ是CM的垂直平分线，

∴EM＝EC．