Question

【题目】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图2，△ABC中，∠ABC=45°，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）BD =CE，理由见解析；（2）BD长是cm； (3) BD长是(-3)cm．

【解析】试题分析：（1）证明△EAC与△BAD全等即可得证；

（2）连接EC、EB，通过证明△EAC与△BAD 全等，得到BD=CE．由勾股定理可得EC的长，从而可得BD长；

(3)如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，通过证明△EAC与△BAD全等，从而得BD=CE，从而求得BD长．

试题解析：（1）BD =CE．

理由：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD (SAS) ，∴BD=CE．

（2）如图，连接EC、EB．

在正方形ABNE和正方形ACMD中

∵，AE=AB ，∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ，∴BD=CE．

∵AE=AB=5，∴BE=， ∠ABE=∠AEB=45．

又∵∠ABC=45，∴∠ABC+∠ABE=45+45=90， ∴EC===，

∴BD=CE= (cm)．

答：BD长是cm．

(3)如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，

∴∠BAE=90，

又∵∠ABC=45，∴∠E=∠ABC=45，∴AE=AB=5，BE==．

又∵∠ACD=∠ADC=45 ，∴∠BAE= ∠DAC=90， ∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，

即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ， ∴BD=CE．

∵BC=3，∴BD=CE=(-3)(cm)．

答：BD长是(-3)cm．