Question

【题目】已知：如图，△ABC 中，∠CAB=90°，AC=AB，点 D、E 是 BC 上的两点，且∠DAE=45°，△ADC 与△ADF 关于直线AD 对称．

（1）求证：△AEF≌△AEB；

（2）求∠DFE 的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）90°.

【解析】

（1）根据折叠的性质得到△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD，由于AB＝AC，于是得到AF＝AB，证得∠FAE＝∠BAE，即可得到结论；

（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠B，即可得到结论．

（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，∴△ADF≌△ADC；

∴AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD．

∵AB＝AC，∴AF＝AB．

∵∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．

∵∠CAD＝∠FAD，∴∠FAE＝∠BAE．

在△AFE与△ABE中，∵，∴△AEF≌△AEB；

（2）由（1）知△AEF≌△AEB，∴∠AFE＝∠B．

∵∠C＝∠DFA，∴∠DFE＝∠DFA+∠EFA＝∠B+∠C＝90°．