Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直，

∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，

∴①错误；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AD= ，AB=1，

∴tan∠ADB= = ，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABO=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=BO，

∴BF=BO，∴②正确；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，

∴∠CAH=15°，

∵CE⊥BD，

∴∠CEO=90°，

∵∠EOC=60°，

∴∠ECO=30°，

∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，

∴AC=CH，

∴③正确；

∵△AOB是等边三角形，

∴AO=OB=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，

∵CE⊥BD，

∴DE=EO= DO= BD，

即BE=3ED，∴④正确；

即正确的有3个，

故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．