Question

【题目】如图，点P是反比例函数y= （k＜0）图象上的点，PA垂直x轴于点A（﹣1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= ．

（1）k的值是；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）-4
（2）0＜a＜2或 ＜a＜
【解析】解：（1.）如图，

PA垂直x轴于点A（﹣1，0），
∴OA=1，可设P（﹣1，t）．
又∵AB= ，
∴OB= = =2，
∴B（0，2）．
又∵点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式是：y=﹣2x+2．
∵点P在直线BC上，
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是（﹣1，4），
∴k=﹣4．
所以答案是：﹣4；
解法二：用相似三角形
由题意易得△CPA～CBO，
∴
∴
∴AP=4，
∴k=﹣4．
（2.）分类讨论
①如图1，延长线段BC交双曲线于点M．

由（1）知，直线BC的解析式是y=﹣2x+2，反比例函数的解析式是y=﹣ ．
则 ，
解得， 或 （不合题意，舍去）．
根据图示知，当0＜a＜2时，∠MBA＜∠ABC；
②如图，作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长交双曲线于点M′．

∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y=2x+2．
直线CC′是与直线AB垂直的，
根据两条直线垂直，两直线的斜率互为负倒数，即：k1k2=﹣1
可设CC′解析式为：y=﹣ x+b，
∵C（1，0），
∴b= ，
∴CC′解析式为：y=﹣ x+ ，
∵AC=AC′=2，
∴设C′点横坐标为：x，则纵坐标为：﹣ x+ ，
∴（﹣x﹣AO）2+（﹣ x+ ）2=（AC′）2 ，
解得：x1=﹣ ，x2=1（不合题意舍去），
∴C′（﹣ ， ），则易求直线BC′的解析式为：y= x+2，
∴ ，
解得：x1= ，x2= ，
则根据图示知，当 ＜a＜ 时，∠MBA＜∠ABC．
综合①②知，当0＜a＜2或 ＜a＜ 时，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或 ＜a＜ ．
【考点精析】利用反比例函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．