Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=﹣1，

则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4

（2）

解：①由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BDO≌△CDO，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP，

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF= DE，即y= x

（3）

解：当BD：BF=2：1时，

过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴ =2，

∴FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，

∴OE=FH=2，

∴EF=OH=4﹣ OD，

∵DE=EF，

∴2+OD=4﹣ OD，

解得：OD= ，

∴点D的坐标为（0， ），

∴直线CD的解析式为y= x+ ，

由 得 ，

则点P的坐标为（2，2）；

当 = 时，

连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEB=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴ = ，

∴FG=8，OD= BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四边形OEFG是矩形，

∴OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，

∴8﹣OD=4+2OD，

OD= ，

∴点D的坐标为（0，﹣ ），

直线CD的解析式为：y=﹣ x﹣ ，

由 得： ，

∴点P的坐标为（8，﹣4），

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．

【解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）①先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF= DE，即y= x；（3）当 =2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB， =2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣ OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y= x+ ，最后根据 求出点P的坐标即可；当 = 时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB， = ，得出FG=8，OD= BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据 即可求出点P的坐标．