Question

【题目】如图所示，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）求四边形DAEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质和SAS证明△BDF≌△BAC，可得DF＝AC，进而可得DF＝AE，同理可得DA＝EF，于是可根据两组对边分别相等的四边形是平行边形来证明结论；

（2）先证明△ABC为直角三角形，进而可求得∠DAE＝150°，进一步可得∠FDA＝30°，过F作FM⊥AD，然后利用30°角的直角三角形的性质可求得FM的长，进而可得结果．

（1）证明：∵等边△BCF和等边△ABD，

∴BF＝BC，BD＝BA，∠FBC=∠DBA=60°，

又∵∠DBF＝60°﹣∠ABF，∠ABC＝60°﹣∠ABF，

∴∠DBF＝∠ABC．

∴△BDF≌△BAC（SAS）．

∴DF＝AC．

∵在等边△ACE中，AC＝AE，

∴DF＝AE．

同理DA＝EF．

∴四边形DAEF是平行四边形；

（2）解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，

∴AB2+AC2＝32+42=52=BC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴∠BAC＝90°，

又∵∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，

∴∠FDA＝30°，

如图，过F作FM⊥AD于点M，

则FM＝FD＝AE＝AC＝2，

∴S四边形DAEF＝ADFM＝3×2＝6．